在函数研究中, 对函数特性的探讨是理解其行为模式和应用价值的关键所在. 有界性能够判定函数值在某区间内是否受限, 帮助我们确认函数的上下界; 单调性则刻画函数值随自变量变化的增减趋势, 使人明了其整体走向与形态; 奇偶性对函数图像的对称性质加以分析, 从而帮助识别其关于原点或纵轴的对称结构; 周期性则展示函数值在特定区间后重复出现的规律, 为判断函数在时间、空间或参数变化下的重复性和可预测性提供理论依据. 这些特性不仅是理解函数性质的基础, 更为后续应用创造条件. 在微积分中, 它们帮助判断积分与导数的存在性与大小; 在方程求解中, 它们协助筛选合适的解集; 在信号处理与模型构建中, 它们能指引数据模式的发现与分析. 借助对有界性、单调性、奇偶性与周期性的深刻理解, 我们方能更全面地把握函数之精髓.

　　定义　设函数的定义域为， 数集，如果存在一个正数，使得对一切，恒有

，【动画】

则称函数在上有界，或称是上的有界函数。每一个具有上述性质的正数，都是该函数的界。

　　注：根据上述定义的逆否命题，欲证函数无界，即要证对任意的正数，存在，使

。

　　如果具有上述性质的正数不存在，那么称在上无界，或称是上的无界函数。

　　如果存在常数，使得对一切，恒有

(或者)，

则称函数在上有上界（或下界）。

　　易知，函数在上有界的充要条件是函数在上既有上界又有下界。

　　例如，正弦函数在内有界，因为对于任何一个实数，恒有

；

　　幂函数在区间上有下界，无上界，是无界函数。

　　有界性是函数的关键的性质之一, 通过考察函数值是否在特定范围内上下受限, 可明确函数的值域范围, 从而更好地理解函数在给定区间内的行为. 这一性质对于解决诸多问题至关重要. 例如, 当函数有界时, 往往可以避免函数值无限发散, 从而在微积分中确保诸定理的适用性; 在实际应用中, 有界性帮助我们预估系统行为的极限范围, 确保模型预测的可控性与可靠性.