定义　设函数的定义域为， 数集，如果存在一个正数，使得对一切，恒有

，【动画】

则称函数在上有界，或称是上的有界函数。每一个具有上述性质的正数，都是该函数的界。

　　注：根据上述定义的逆否命题，欲证函数无界，即要证对任意的正数，存在，使

。

　　如果具有上述性质的正数不存在，那么称在上无界，或称是上的无界函数。

　　如果存在常数，使得对一切，恒有

(或者)，

则称函数在上有上界（或下界）。

　　易知，函数在上有界的充要条件是函数在上既有上界又有下界。

　　例如，正弦函数在内有界，因为对于任何一个实数，恒有

；

　　幂函数在区间上有下界，无上界，是无界函数。