设满足：
，，
证明收敛，求。
证 题设数列是一递归数列，此类数列的极限的存在性常用单调有界准则来判断。 依题设，由，，有 ，所以，数列单调减少。 下面用数学归纳法证明数列有界： 由，有，
证 题设数列是一递归数列，此类数列的极限的存在性常用单调有界准则来判断。
依题设，由，，有
，
所以，数列单调减少。
下面用数学归纳法证明数列有界：
由，有
所以。设，则由
。
因此，由数学归纳法得知，对一切自然数，有
故数列有界，由单调有界准则知，数列收敛。设
因，故由极限的保号性知，。在
两边取极限，得
即
解上述一元二次方程，得
(舍去)， 。
综上讨论，得
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