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一、选择题：1—10小题。每小题5分，共50分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的。
当时，是非零无穷小量，则以下四命题： ① 若，则； ② 若，则； ③ 若，则； ④ 若，则。 真命题的序号是( )
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| A.当在的某邻域内单调增加时， | B.当时，在的某邻域内单调增加 | C.当在的某邻域内是凹函数时， | D.当时，在的某邻域内是凹函数 |
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| A.若存在，则存在 | B.若存在，则存在 | C.若存在，则存在，但不一定存在 | D.若存在，则存在，但不一定存在 |
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设为三阶矩阵，，则的特征值为的充分必要条件是( )
| A.存在可逆矩阵使得 | B.存在可逆矩阵，使得 | C.存在正交矩阵，使得 | D.存在可逆矩阵，使得 |
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二、填空题：11-16小题，每小题5分，共30分。
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已知曲线的极坐标方程为 ， 则围成的有界区域的面积为_________。
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设为阶矩阵，交换的第二行和第三行，再将第二列的倍加到第一列，得到矩阵 ， 则的迹_________。
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三、解答题：17-22小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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已知可微函数满足 ， 且。 (1) 记，求； (2) 求的表达式和极值。
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设函数在上有阶连续导数。证明的充要条件是对不同的实数，都有 成立。
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已知二次型。 (1) 求正交矩阵，使正交变换 将二次型 化为标准形；
(2) 证明：。
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