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一、选择题：1—10小题。每小题5分，共50分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的。
当时，是非零无穷小量，则以下四命题： ① 若，则； ② 若，则； ③ 若，则； ④ 若，则。 真命题的序号是( )
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| A.有最大值，有最小值 | B.有最大值，无最小值 | | C.无最大值，有最小值 | D.无最大值，无最小值 |
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设为三阶矩阵，，则的特征值为的充分必要条件是( )
| A.存在可逆矩阵使得 | B.存在可逆矩阵，使得 | C.存在正交矩阵，使得 | D.存在可逆矩阵，使得 |
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设随机变量序列独立同分布，且的概率密度为 ， 则当时，依概率收敛于( )
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设二维随机变量的概率分布为
若事件与事件相互独立，则 ( )
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二、填空题：11-16小题，每小题5分，共30分。
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设为阶矩阵，交换的第二行和第三行，再将第二列的倍加到第一列，得到矩阵 ， 则的迹_________。
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设为三个随机事件，与互不相容，与互不相容，与相互独立，且，则 _________。
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三、解答题：17-22小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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设某产品的产量由资本投入量和劳动投入量决定，生产函数该产品的出售单价与的关系为 。 若单位资本投入和单位劳动投入的价格分别为和，求利润最大时的产量。
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已知二次型。 (1) 求正交矩阵，使正交变换 将二次型 化为标准形；
(2) 证明：。
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设为来自期望值为的指数分布总体的简单随机样本，为来自期望值为2的指数分布总体的简单随机样本，且两个样本相互独立，其中()为未知参数。利用样本和。 (1) 求的极大似然估计量； (2) 求。
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