设，，且两向量的夹角，试求

。

已知向量, 求

 (1) ; (2) ; (3) . 

设是正边形的顶点,  利用, 证明: 

.

已知，和，求同时与向量、垂直的单位向量。

设力作用在一质点上，质点由沿直线移动到，求此力所做的功(设力的单位为，位移的单位为)。

设，，问与有怎样的关系能使与轴垂直？

在杠杆上支点的一侧与点的距离为的点处，有一与成角的力作用着，在的另一侧的距离为的点处，有一与成角的力作用着，如下图，问、、、、、符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？

设，和，求

　　(1) ；

　　(2) ；

　　(3) 。

直线通过点和，求点到直线的距离。

试证向量

表示向量与夹角的分角线向量的方向。

设，，其中，，且。

　　(1) 为何值时，？

　　(2) 为何值时，与为邻边的平行四边形面积为？

设均为非零向量，其中任意两个向量不共线，但向量与共线，与共线，试证

。

设是共面的单位向量.

,

且, 试证:

.

试证向量

，，

在同一平面上，并沿和分解。

已知, 试利用混合积的几何意义证明三向量共面的充要条件是: 

.

设, 若, 试证: 

.

设点、、的向径分别为

，，，

试证、、三点在一条直线上。

已知

，，，

试利用行列式的性质证明

。

试用向量证明不等式：

，

其中为任意实数，并指出等号成立的条件。