今天是：2025年11月28日 星期五
2025数学三试卷
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目要求.
1 选择题 1/4 点评[0]　　浏览[1]
当时, 下列无穷小量中, 与等价的是(　)
A.B.
C.D.
2 选择题 1/4 点评[0]　　浏览[18]
已知函数, 则(　)
A.是的极值点, 也是的极值点
B.是的极值点, 也是的拐点
C.是的极值点, 也是的拐点
D.是曲线的拐点, 也是曲线的拐点
3 选择题 1/4 点评[0]　　浏览[0]
已知为常数, 则级数(　)
A.绝对收敛B.条件收敛
C.发散D.敛散性与的取值有关
4 选择题 1/4 点评[0]　　浏览[0]
设函数连续, 则(　)
A.B.
C.D.
5 选择题 1/4 点评[0]　　浏览[0]
已知是矩阵, 是维非零列向量, 若有阶非零子式, 则(　)
A.当时, 有解B.当时, 无解
C.当时, 有解D.当时, 无解
6 选择题 1/4 点评[0]　　浏览[0]
设为阶矩阵, 则“可对角化”是“可对角化”的(　)
A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7 选择题 1/4 点评[0]　　浏览[0]

设矩阵

,

若是正定二次型, 则的取值范围是(　)

A.B.
C.D.
8 选择题 1/4 点评[0]　　浏览[1]
设随机变量服从正态分布, 服从正态分布, 若与不相关, 则与的相关系数为(　)
A.B.C.D.
9 选择题 1/4 点评[0]　　浏览[2]

设是来自总体的简单随机样本, 令

,

利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得(　)

A.B.C.D.
10 选择题 1/4 点评[0]　　浏览[0]
设总体的均匀分布为, 为来自总体的简单随机样本, 样本经验分布函数为, 对于给定的, (　)
A.B.
C.D.
二、填空题：11～16小题, 每小题5分, 共30分.
11 填空题 点评[0]　　浏览[0]

设是函数

的反函数, 则曲线的渐近线方程为_______.
12 填空题 点评[0]　　浏览[0]
设, 则_______.
13 填空题 点评[0]　　浏览[0]
微分方程满足条件的解为_______.
14 填空题 点评[0]　　浏览[0]

已知函数由确定, 则

_______.
15 填空题 点评[0]　　浏览[0]

已知

则方程的不同的根的个数为_______.
16 填空题 点评[0]　　浏览[3]

设、、为三个随机事件, 且与相互独立, 与相互独立, 与互不相容, 已知

,

则在事件、、至少有一个发生的事件下, 、、中恰有一个发生的概率为_______.
三、解答题：17～22小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17 解答题 点评[0]　　浏览[8]
计算.
18 解答题 点评[0]　　浏览[1]

设函数在处连续, 且

,

证明在处可导, 并求.
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已知平面有界区域, 计算二重积分

.
20 解答题 点评[0]　　浏览[2]

设函数在区间内可导, 证明导函数在内严格单调增加的充分必要条件是: 对内任意的, 当时,

.
21 解答题 点评[0]　　浏览[0]

设矩阵的秩为.

　　(1) 求的值.

　　(2) 求的列向量组的一个极大线性无关组, 并求矩阵, 使得, 其中.
22 解答题 点评[0]　　浏览[0]

投保人的损失事件发生时, 保险公司的赔付额与投保人的损失额的关系为:

,

设损失事件发生时, 投保人的损失额概率密度为:

.

　　(1) 求及;

　　(2) 这种损失事件在一年内发生的次数记为, 保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为, 假设服从参数为的泊松分布, 在的条件下, 服从二项分布, 其中, 求的概率分布.