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一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目要求.
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设函数在区间上有定义, 则下列命题正确的是 ( )
| A.当函数在区间上单调递减, 在区间上单调递增时, 为极小值; | B.当是极小值时, 函数在区间上单调递减, 在区间上单调递增; | C.当函数的图形在区间上是凹的时, 在区间上单调递增; | D.当在 上单调递增时, 函数的图形在区间上是凹的. |
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已知有界区域由曲面 与 围成, 函数连续, 则 ( )
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单位矩阵经若干次互换两行得到的矩阵为置换矩阵. 设为阶置换矩阵, 为的伴随矩阵, 则 ( )
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设为阶矩阵, 为维列向量, 若的列向量组可由的列向量组线性表示, 则 ( )
| A.当有解时, 有解 | B.当有解时, 有解 | C.当有解时, 有解 | D.当有解时, 有解 |
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设二次型,若方程表示的曲面为圆柱面,则 ( )
| A.,且的规范形为 | B.,且在正交变换下标准形为 | C.,且的规范形为 | D.,且在正交变换下标准形为 |
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设随机变量, 令, 则的最小值点和最小值分别为 ( )
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设连续型随机变量的分布函数为, 随机变量的分布函数为, 的数学期望为, 方差为.若的期望和方差为和, 则 ( )
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设随机变量的概率分布为 , , 则对于正整数有 ( )
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二、填空题：11～16小题, 每小题5分, 共30分.
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设函数 由参数方程 确定, 则 _________.
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设矩阵 , , 记为阶矩阵的实特征值中的最大值. 若, 则的取值范围是_________.
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设随机变量服从参数为1的泊松分布, 随机变量服从参数为3的泊松分布, 与相互独立, 则_________.
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三、解答题：17～22小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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设在区间内具有3阶连续导数, 且存在可微函数使得
(1) 证明: , 为常数; (2) 设, , , 求的表达式.
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设有向曲线 为椭圆 上沿逆时针方向从点 到 的部分, 计算
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设可导函数严格单调递增且满足 , 记 .
(1) 证明 ; (2) 令, 证明: 存在 , 使得 .
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已知向量组
, 设 . (1) 证明: 是的极大线性无关组; (2) 求矩阵使得, 并求.
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假设某种元件的寿命服从指数分布, 其均值 是未知参数, 为估计, 取个这种元件同时做寿命试验, 试验到出现 () 个元件失效时停止.
(1) 若, 失效元件寿命记为. (i) 求 的概率密度; (ii) 确定, 使 是的无偏估计, 求 . (2) 已知 个失效元件寿命值分别为 且 , 似然函数为 求 的最大似然估计值.
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