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一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分, 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目要求.
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设 是某 2 阶非齐次线性微分方程的两个特解. 若常数使得是该方程的解, 是该方程对应的齐次方程的解, 则 ( )
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设线密度为 1 的均匀细棒的两个端点分别在 , 在 处有一个质量为 的质点, 为引力常数, 则细棒对质点的万有引力为 ( )
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设函数在区间上有定义, 则下列命题正确的是 ( )
| A.当函数在区间上单调递减, 在区间上单调递增时, 为极小值; | B.当是极小值时, 函数在区间上单调递减, 在区间上单调递增; | C.当函数的图形在区间上是凹的时, 在区间上单调递增; | D.当在 上单调递增时, 函数的图形在区间上是凹的. |
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单位矩阵经若干次互换两行得到的矩阵为置换矩阵. 设为阶置换矩阵, 为的伴随矩阵, 则 ( )
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设3阶矩阵满足, 且, 则下列结论中错误的是 ( )
| A. | B. 只有零特征值 | C. 和 不能都是对角矩阵 | D. 只有一个线性无关的特征向量 |
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二、填空题：11～16小题, 每小题5分, 共30分.
已知为实数, 反常积分收敛, 则的取值范围为 _________.
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设函数可微, 且满足
, , 则 _________.
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设矩阵 , 二次型的规范形为, 则_________.
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三、解答题：17～22小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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设函数连续, , 试求的表达式, 并讨论在点处的连续性.
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设为曲线的拐点, 为坐标原点, 设平面区域是由第一象限内的曲线、线段及轴正半轴围成的无界区域, 求区域绕轴旋转所成的旋转体的体积.
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已知向量组
, 设 . (1) 证明: 是的极大线性无关组; (2) 求矩阵使得, 并求.
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