克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组的解存在性与唯一性，其中还给出了克莱姆法则的几种常用表述。下面要进一步学习一般线性方程组解的判定定理。
1、齐次线性方程组解的判定定理
定理1 设矩阵，元齐次线性方程组
有非零解的充要条件是其系数矩阵的秩
。
【证明】
注1：定理的结论可表述为下列常用形式：
(1) 当且仅当只有零解；
(2) 当且仅当有非零解。
注2：齐次线性方程组有时也称为非齐次线性方程组的导出组。
2、非齐次线性方程组解的判定定理
定理2 设，元非齐次线性方程组
有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即
。
【证明】
注3：定理的结论可表述为下列常用形式：
(1) 当且仅当有唯一解；
(2) 当且仅当有无穷多解；
(3) 当且仅当无解。