在本节分段函数的教学举例中，我们已经介绍过狄利克雷函数的概念与性质。这里，我们要证明狄利克雷函数

，

是一个周期函数。

　　证明　先证任何正有理数都是它的周期，设为正有理数，是任意实数，则当是有理数时，也是有理数；当是无理数时，也是无理数，即有

，

所以，正有理数是狄利克雷函数的周期。

　　注意到，若为正有理数，则为负有理数，与上完全类似地可证明，任何负有理数也是它的周期，所以，任何非零有理数都是狄利克雷函数的周期。但由于不存在最小的正有理数，故没有最小正周期。