狄利克雷函数
。
易见，该函数的定义域为
，
值域为
。
狄利克雷函数是一个分段函数，虽然我们不能给出它的直观图像表示，但是它的函数图像是客观存在的。并且可进一步证明：
(1) 狄利克雷函数是偶函数，其图像关于轴对称；
(2) 狄利克雷函数是周期函数，任意正负有理数都是其周期，且无最小正周期。
注：在后续的学习中，我们还将进一步知道，狄利克雷函数的极限处处不存在，处处不连续，处处不可导等。历史上，狄利克雷函数的出现是数学家有意识地“以概念代替直觉”的标志，在此之前，数学家们主要是研究具体的函数，不太考虑抽象问题。