导数的概念

　　在高中阶段，我们学习过函数在一点处的平均变化率与导数的定义等，但那时导数定义中的用到极限并非严格的极限定义。下面将引入严格的导数定义。

　　定义　设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量(点仍在该邻域内)时，函数相应取得增量

如果当时，极限

存在，则称此极限值为在点处的导数，并称在点处可导，记为

，，，。

　　关于导数定义的几点注意：

　　1、导数概念是函数平均变化率这一概念的精确描述，函数在点处的导数，即函数在点处的变化率

。

　　导数的概念撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量角度来刻画函数变化率的本质。

　　当我们将导数的概念具体应用于特定问题时，只需赋予其相应的实际意义即可。

　　例如，在高中阶段，我们学习过平均变化率的物理意义、导数的物理意义：路程对的导数是物体作变速直线运动的速度即。

　　2、导数定义的其它常用表达：如果令，则有

，

 如果令，则有

。

　　3、在指定点的导数值：函数在点处的导数就是其导函数在点处的函数值，即

。

　　4、在曲线的尖点处不可导：一般地，如果曲线的图形在点处出现“尖点”(举例：§2.1例9，例10)，则它在该点不可导。因此，如果函数在一个区间内可导，则其图形在该区间内不会出现“尖点”，或者说其图形是一条没有尖点的光滑曲线。

　　5、函数可导与导函数的概念：如果函数在开区间内的每点处都可导，就称函数在该开区间内可导，此时，也是的函数，称其为的导函数。

　　6、按定义求导的一般步骤：

　　(1) 求函数的增量：；

　　(2) 求函数增量与自变量增量的比：

；

　　(3) 求极限：。