在高中阶段，我们曾介绍过函数的极限。在数列的概念中，我们已知数列也可看作自变量取正整数的函数。按此理解，仿照数列极限的严格定义，可给出针对自变量趋于无穷大时函数极限的定义。
定义 设当大于某一正数时函数有定义。如果对任意给定的正数(不论它多么小)，总存在着正数，使得对于满足的一切，恒有
，
则称常数为函数当时的极限，记作
或 (当)。
注1：定义中刻画了与的接近程度，刻画了充分大的程度，是随而确定的。
注2：上述极限的定义并未给出求极限的方法，但给出了论证函数的极限为的方法，常称为论证法，其论证步骤为：
(1) 对于任意给定的正数；
(2) 从不等式出发，利用常用不等式及其性质，通过对进行若干步变形与缩放化为较简单的形式，令其，得
；
(3) 只需取，就可保证当时，恒有
，
最后，再语言顺述结论，完成证明。