自变量趋于有限值时函数极限的定义

　　定义　设函数在点的某一去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在正数，使得对于满足不等式的一切，恒有

。

则称常数为函数当时的极限。记作

 或 。

　　注1：函数极限与在点处是否有定义无关；与任意给定的正数有关。

　　注2：上述定义虽未给出求极限的具体方法，但给出了证明函数极限的论证法：

　　(1) 对于任意给定的正数；

　　(2) 从不等式出发，利用常用不等式及其性质，通过对进行若干步变形与缩放化为较简单的形式，令其，得

；

　　(3) 只需取，就可保证当时，恒有

，

最后，再语言顺述结论，完成证明。