极限的四则运算法则与无穷小因子分出(消去)法

　　1、极限的四则运算法则

　　定理　设，，则

　　(1) ；

　　(2) ；

　　(3)  。

【证明】

　　注1：法则、均可推广到有限个函数的情形。

　　定理中，记号“”指对和以及单侧极限均成立。

　　推论1　若存在，而为常数，则

，

即常数因子可以移到极限记号外面。

　　推论2　若存在，而是正整数，则

。

　　注2：上述定理给求极限带来很大方便，但应注意，运用该定理的前提是被运算的各个变量的极限必须存在，并且，在除法运算中，还要求分母的极限不为零。

　　2、无穷小因子分(析)出法

　　如果当时，分子和分母的极限都是无穷大，此时，利用无穷大与无穷小的关系，此时，可以采用所谓的无穷小因子分出法(或析出法)，即以分母中自变量的最高次幂除分子和分母，以分出(或析出)无穷小，然后再利用极限的四则运算法则来计算。

　　例如，。

　　3、无穷小因子消去法

　　如果在自变量变化过程中，有理分式中分子和分母的极限都是零，此时应先约去不为零的无穷小因子后再求极限。此类求极限的方法称为无穷小因子消去法。例如：