考点总结：

　　1、拉格朗日中值定理

　　2、柯西中值定理

　　3、关于微分中值定理：

　　中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与函数在该区间某一点的导数之间的关系，中值定理即是用微分学知识解决应用问题的理论基础，又是解决微分学自身发展的一种理论性模型。

　　罗尔定理中这个条件非常特殊，它使罗尔定理的应用受到了限制。拉格朗日在罗尔定理的基础上作了进一步的研究，取消了罗尔定理中这个条件的限制，但仍保留了其余两个条件，得到了微积分学中具有重要地位的拉格朗日中值定理。本题型主要介绍拉格朗日中值定理与柯西中值定理的应用。

　　1、证明拉格朗日中值定理(如例1)；

　　2、利用拉格朗日中值定理求极限(如例2)；

　　3、利用拉格朗日中值定理证明存在性命题(如例3)；

　　4、利用柯西中值定理证明存在性命题(如例4)；

　　5、利用拉格朗日中值定理证明不等式(如例5-8)；   

　　6、利用柯西中值定理证明不等式(如例9)。

　　复习指导：

　　学习系统教学内容与习题辅导中的相关内容：

　　内容模块：§3.1 例3；例4；例5。

　　习题模块：习题3-1：题2；题3；题4；

       题5；题6；题7；题8；14(1)；14(2)；

       14(3)；题15；题16；题17；题20。

　　典型例题：

　　例1   (1) 证明拉格朗日中值定理：若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则存在，使得

；

　　(2) 证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且。

　　提示：本例是2009年数学一(18)。(1) 利用辅助函数法与罗尔定理证明。(2) 利用拉格朗日中值定理与函数的左右极限证明。

【详解】

　　例2   求极限。

　　提示：利用拉格朗日中值定理与夹逼定理求解。

【详解】

　　例3   设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且 ，，试证：对任意给定的正数，在内存在不同的，使

。

　　提示：本例是相应学习系统总习题三的题5。利用拉格朗日中值定理与介值定理证明。

【详解】

　　例4   设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，试证明：在开区间内存在点和，使得

。

　　提示：本例是相应学习系统总习题三的题6。利用柯西中值定理与拉格朗日中值定理证明。

【详解】

　　例5  设不恒为常数的函数在上连续，在内可导，且，证明在在内至少存在一点，使得

。

　　提示：本例是1990年数学一(卷Ⅰ) 六。因题设函数不恒等于零，故在区间内必存在一点，使得，在区间与区间分别利用拉格朗日中值定理来证明。

【详解】

　　例6  对，，证明不等式

。

　　提示：依题设，作辅助函数，然后利用拉格朗日中值定理与基本求导公式来证明。　

【详解】

　　例7  设函数是在上可导的函数，且单调减少，。试证：对于，恒有

。

　　提示：根据拉格朗日中值定理与函数单调性判别法证明，在其所给范围内应用拉格朗日中值定理，并依题意将 作适当的放大或缩小即可。

【详解】

　　例8  已知函数在区间上具有二阶导数，且

，，，

设，曲线在点处的切线与轴的交点是，证明：。

　　提示：本例是2015年数学二(21)。根据拉格朗日中值定理、函数单调性判别法与切线导数的几何意义证明。

【详解】

　　例9  设，都是可导函数，且

，

证明：当时，有

。

　　提示：利用柯西中值定理与函数单调性判别法证明。　　

【详解】

　　考研应用：

　　部分涉及本题型内容的考研题：

　　2020数一(19)：拉格朗日中值定理，…

　　2018数一(19)：拉格朗日中值定理，…

　　2017数一(18)：拉格朗日中值定理，…

　　2016数一(19)：拉格朗日中值定理，…

　　2011数一(18)：拉格朗日中值定理，…

　　2009数一(18)：拉格朗日中值定理，…

　　2006数一(7)：拉格朗日中值定理，…

　　2006数一(18)：拉格朗日中值定理，…

　　2005数一(18)：拉格朗日中值定理，…

　　2004数一(15)：拉格朗日中值定理，…

　　2002数一(8)：拉格朗日中值定理，…

　　2001数一(15)：拉格朗日中值定理，…

　　1995数一(卷Ⅰ) 二(2)：拉格朗日中值定理，…

　　1993数一(卷Ⅰ) 六(1)：拉格朗日中值定理，…

　　1990数一(卷Ⅰ) 六：拉格朗日中值定理，…

　　1987数一(卷Ⅰ) 八：拉格朗日中值定理，…