考点总结：

　　1、向量组线性相关性的概念：

　　2、向量组线性相关的充要条件：定理1-2

　　3、向量组与其部分组间线性相关性的判定：定理3-4

　　复习指导：

　　学习系统教学内容与习题辅导中的相关内容：

　　内容模块：§3.3 例1；例2；例3。

　　习题模块：习题3-3：1(1)；1(2)；1(3)；题2；题3；

        题4；题5；题6；题7；题10；题11。

　　典型例题：

　　例1  设

，，，，

其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是。

　　A.　B.　C.　D.

　　提示：本例是2012年数学二(7)考研题。根据向量组线性相关性的定义与向量的线性运算求解判断。

【详解】

　　例2  设

，，，

讨论向量组

　　(1) ，的线性相关性；

　　(2) ，，的线性相关性。

　　提示：根据向量组的线性相关性、线性方程组解的判定定理、向量组线性相关的充要条件求解判断。

【详解】

　　例3  判断向量组

，　　，

，

的线性相关性。

　　提示：对由题设向量组构成的向量方程，根据初等行变换法、线性方程组解的判定定理、向量组线性相关的充要条件求解。

      【详解】

　　例4  设为阶矩阵，为线性无关的向量组。若

，，，

则的实特征值为       。

　　提示：本例是2018年数学二(14)考研题。根据向量组与矩阵的关系、向量组线性相关的充要条件、相似矩阵的性质与特征方程求解。

【详解】

　　例5  设维实向量

， ，，

且线性无关，是线性方程组

的非零解向量，试判断的线性相关性。

　　提示：根据向量组线性相关与线性无关的定义、线性方程组表示成向量形式、矩阵的乘法与矩阵的转置运算证明。其中要注意到线性方程组与向量乘积之间表达形式的转换。

【详解】

　　例6  设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是（  ）。

　　A.若线性相关, 则线性相关

　　B.若线性相关, 则线性无关

　　C.若线性无关, 则线性相关

　　D.若线性无关, 则线性无关

　　提示：本例是2006年数学二(13)考研题。根据根据向量组线性相关与线性无关的定义与矩阵乘法的运算规律求解判断。

【详解】

        例7  设

，，，

是互不相同的数，证明向量组

线性无关。

　　提示：根据向量组线性相关与线性无关的定义、范德蒙行列式、向量组线性相关的充要条件与矩阵的秩的定义求解判断。

【详解】

　　例8  设有向量组，其中，且每个

都不能由线性表示, 证明该向量组线性无关。

　　提示：根据向量组线性相关与线性无关的定义和向量的线性表示来证明。

【详解】

　　考研应用：

　　部分涉及本题型内容的考研题：

　　2020数二(23)：向量组的线性相关性，…

　　2018数二(14)：向量组的线性相关性，…

　　2014数二(8)：向量组线性无关的充要条件，…

　　2012数二(7)：向量组的线性相关性，… 

　　2006数二(13)：向量组的线性相关性，…

　　2004数二(14)：向量组的线性相关性，…

　　2002数二(10)：向量组的线性相关性，…

　　2001数二(20)：线性组无关充要条件，…

　　2000数二(21)：向量组的线性相关性的判定，…

　　1988数二 二(5)：向量组线性无关的充要条件，…