2、
　　观察　我们可通过函数的函数值(见下表)来观察其变化趋势。

    表1 【实验】

　　从上表可见，随着自变量的增大而增大，但增大的速度越来越慢，且逐步接近一个常数。

　　证明　先考虑取正整数且的情形。

　　设，下面证明数列单调增加且有界。

又

比较、的展开式的各项可见，除了前两项相等以外，从第三项起，的各项都大于的各对应项，而且还多了最后一个正项，因而

 ，

即为单调增加数列。

　　再证数列有界，因

故数列有界。根据极限存在准则Ⅱ，存在，常用字母表示该极限值，即

。

　　可以证明，对一般的实数，仍有

。

　　注：无理数是数学中的一个重要常数，其值为

。

　　利用复合函数的极限运算法则，若令，则该重要极限可化为

。