在高中阶段，我们介绍过数列的有界性，下面进一步学习数列的有界性以及收敛数列的有界性。
定义 对数列，如果存在正数，使对一切自然数，恒有
，
则称数列有界，否则，称为无界。
例如，数列
是有界的，因为可取，使
对一切正整数都成立。
数列是无界的，因为当无限增加时，可以超过任何正数。
从几何上看，若数列有界，则存在，使得数轴上对应于有界数列的点，都落在闭区间上。
定理1 收敛的数列必定有界。
证明 设，由极限定义，若取，则存在，使当时，恒有
，
利用基本绝对值不等式，即有
。
若记
，
则对一切正整数，皆有
，
所以，数列有界。
推论1 无界数列必定发散。
事实上，上述推论即为定理的逆否命题。
