圆锥曲线(椭圆、抛物线、双曲线)的概念

　　1、圆锥曲线，是由一平面截一二次锥面(对顶的圆锥，如图)得到的曲线。圆锥曲线包括椭圆(圆是椭圆的特例)、抛物线、双曲线。

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　　(1) 当平面与二次锥面的母线平行，若平面且不过圆锥顶点，所得截线为抛物线；若平面过圆锥顶点，所得截线就退化为一条直线。

　　(2) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，所得截线为椭圆；此时若平面与圆锥的对称轴垂直，则所得截线为圆。

　　(3) 当平面只与二次锥面一侧相交，若过圆锥顶点，所得截线为一个点；若平面不过圆锥顶点，则所得截线为双曲线(每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线)。

　　(4) 当平面与二次锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，所得截线为两条相交直线。

　　注：上述曲线类中不含有二次曲线：两平行直线。

　　2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支(把圆锥面换成相应的二次锥面时,则可得到双曲线)。

　　2、圆锥曲线(二次曲线)的(不完整)统一定义：

　　到定点(焦点)的距离与到定直线的(准线)的距离的商是常数的(离心率)的动点的轨迹。

　　当时，为双曲线的一支；

　　当时，为抛物线；

　　当时，为椭圆，当时，为一点。

　　注1：阿波罗尼曾称椭圆为亏曲线，称双曲线为超曲线，称抛物线为齐曲线。事实上，阿波罗尼奥斯在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。

　　注2：从代数观点看，在直角坐标平面上，二元二次方程的图像称为二次曲线。根据判别式的不同，包含了椭圆、双曲线、抛物线以及各种退化情形。

　　注3：多年来传统的焦点-准线定义，只能定义圆锥曲线的主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。但因其形式简明美观，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质，所以被广泛运用。