拉格朗日中值定理　若函数满足：

　　(1) 在闭区间上连续；

　　(2) 在开区间内可导，

则在内至少存在一点，使得

。

【证明】

        注1：定理的结论也可改写为

。【几何解释】

　　上式左端表示函数在闭区间上整体变化的平均变化率，右端表示开区间内某点处函数的局部变化率。于是拉格朗日中值公式反映了函数在上的整体平均变化率与在内某点处函数的局部变化率的关系。因此，拉格朗日中值定理是连接局部与整体的纽带。

　　推论1　如果函数在区间上的导数恒为零，即

，

那么在区间上是一个常数，即

 (为常数)。

【证明】

　　推论2　如果函数与在区间上恒有

，

则在区间上

 (为常数)。

        注2：设，在区间上应用定理结论，得

，   

这个称为有限增量公式，它精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在该区间内某点处的导数之间的关系。

　    拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位，它也称为微分中值定理。在某些实际问题中，当自变量取得有限增量而需要函数增量的准确表达式时，拉格朗日中值定理就显出其重要价值。