泰勒中值定理 若函数在包含的某开区间内具有直到阶的导数，则当时，有
上式称为函数按的幂展开的阶泰勒公式，其右端的多项式称为函数按的幂展开的阶泰勒多项式，称为阶泰勒公式的余项，常用形式包括：
(1) 拉格朗日型余项：
介于与之间，
若令，则上式可变形为
。
(2) 皮亚诺型余项：
，
即是比高阶的无穷小。
【证明】
泰勒中值定理表明：如果函数满足定理的条件且能展开成泰勒公式(1)，则其泰勒展开式具有唯一性。
注：当时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式：
在与之间，
因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广。