圆锥曲线的中点弦问题及其常用解法与平方差法

　　1、直线与圆锥曲线的中点弦问题

　　(1) 已知圆锥曲线内一点，求过定点且以为中点的弦所在直线的方程；

　　(2) 利用已知条件求弦的中点；

　　(3) 求线段的垂直平分线；

　　(4) 对称问题。
　　2、常用解决方法
　　(1) 根与系数的关系法

　　将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元方程，若为一元二次方程，则利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解。其解题思路：设交点坐标为

，

联立直线方程和相应曲线方程，消元得出一个一元方程(视情况对二次项的系数进行讨论)，当二次项系数不为时，求出

 或 ，

以及判别式，然后再根据题设条件求解。
　　(2) 点差法

　　如果直线与圆锥曲线有两个交点和，一般先设出交点坐标，代入曲线方程，作差构造出

，，，，

建立中点坐标和斜率的关系。
　　设弦的中点坐标为，则对于椭圆

，

中点弦的斜率；对于双曲线

，

中点弦的斜率；对于抛物线

，

中点弦的斜率。

　　如果已知中点，则可利用点差法计算出过中点的弦所在直线的斜率。用点差法计算量较少，此法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题非常有效，但此法有一个弊端，它不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用判别式加以检验。
　　3、解决中点弦问题的平方差法
　　(1) 设点：设出弦的两端点坐标；
　　(2) 代入：代入圆锥曲线方程；
　　(3) 作差：两式相减，再用平方差公式把上式展开；
　　(4) 整理：转化为斜率与中点坐标的关系式来求解。