平面的向量表示、法向量与方程(一般式、截距式)

　　1、平面的向量表示

　　根据平面的基本性质(公理2推论2)，空间中平面的位置可由平面内的两条相交直线来确定。

　　如图1，设两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和，为平面上任意一点，则由平面向量的基本定理知，存在有序实数对，使得

，

这样，点与向量不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出平面内的任意一点。

图1

　　2、平面的法向量与方程

　　如图2，直线，取直线的方向向量，则向量称为平面的一个法向量。给定一点和平面的一个法向量

，

在平面内任取一点，则过点并以为法向量的平面被完全确定，注意到向量，所以，其与的数量积

　　(1)

图2

根据两向量数量积的坐标表示3，得平面的点法式方程：

　　(2)

　　平面的一般方程

，

其中为平面的法向量。

　　注：① 若，平面通过坐标原点；

　　② 若，则平面垂直于轴；

　　③ 若，则平面平行于面或垂直于轴.

　　平面的截距式方程

 【动画】

其中分别为平面在轴，轴，轴上的截距。