连续函数的概念
在高中阶段，我从极限的描述性定义出发，介绍过函数的连续性的概念。下面再进一步从极限的严格定义与函数增量的概念引入函数在一点连续的严格定义。
定义1 设函数在点的某一邻域内有定义。如果当自变量在点的增量趋向于零时，对应函数的增量也趋向于零，即
或 ，
则称函数在点处连续，称为的连续点。
定义2 设函数在点的某一邻域内有定义。若函数当时的极限存在，且等于它在点处的函数值，即
，
则称函数在点处连续。
函数在开区间内连续：如果函数在开区间内每一点都连续，则称该函数在该开区间内连续。
函数在闭区间上连续：如果函数在开区间内连续，并且在左端点处右连续，在右端点处左连续，则称函数在闭区间上连续。
注：连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。