向量的夹角、数量积及其性质、力学意义与坐标表示
在平面向量中，我们学习过平面两向量的夹角与数量积。下面进一步讨论空间两向量的夹角与数量积。
1、空间两向量的夹角
定义1 已知两非零向量，任取空间中一点，作
，，
则角称为向量的夹角，记作或。
规定：空间任意两个向量的夹角的取值范围是
。
特别地，当时，两向量同向共线；当时，这两向量反向共线。所以，若，则
或；
当时，两向量垂直，记作。
2、空间向量的数量积
定义2 设有向量，它们的夹角为，乘积
称为向量与的数量积(或内积、点积)，记为，即
。
力学意义：常力所作的功就是力与位移的数量积，即
。
数量积的性质：
(1) ；
其中分别为向量在向量上的投影。
(2) ；
(3) 设为两非零向量，则的充分必要条件是
。
数量积的运算规律：
(1) 交换律：；
(2) 分配律：；
(3) 结合律： (为实数)。
3、数量积的坐标表达式：设
，，
则
。
对非零向量、，它们的夹角为，则
。
由此可得，的充分必要条件是
。