长方体的体对角线与其共顶点的棱与面的关系
在小学阶段,我们曾学习过长方体的概念。在初中阶段所学常见的立体图形中,我们知道底面为矩形的直四棱柱称为长方体(图1)。下面进一步学习长方体的相关性质。
1、长方体的一条体对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。长方体共有四条相等的体对角线,如图1中的线段
,,,,
设其长度为,而长方体的长、宽、高分别为、、,则
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图1【动画】【视频】
2、设、、为一条体对角线与共顶点的三条棱所成的角,则
。
注:上述关系均可借助直角三角形的勾股定理与余弦函数的定义来解决,其中应特别注意到长方体的体对角线、底面的对角线与长方体的棱组成的直角三角形关系。
例如,在图1中分别有:
,,,…。
在进一步学习线与面夹角的定义后,对于长方体我们还可证明:
3、设、、为一条体对角线与共顶点的三个面所成的角,则
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