长方体的体对角线与其共顶点的棱与面的关系

　　在小学阶段，我们曾学习过长方体的概念。在初中阶段所学常见的立体图形中，我们知道底面为矩形的直四棱柱称为长方体(图1)。下面进一步学习长方体的相关性质。

　　1、长方体的一条体对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。长方体共有四条相等的体对角线，如图1中的线段

，，，，

设其长度为，而长方体的长、宽、高分别为、、，则

。

图1【动画】【视频】

　　2、设、、为一条体对角线与共顶点的三条棱所成的角，则

。

　　注：上述关系均可借助直角三角形的勾股定理与余弦函数的定义来解决，其中应特别注意到长方体的体对角线、底面的对角线与长方体的棱组成的直角三角形关系。

　　例如，在图1中分别有：

，，，…。

　　在进一步学习线与面夹角的定义后，对于长方体我们还可证明：

　　3、设、、为一条体对角线与共顶点的三个面所成的角，则

。