函数是现代数学的基本概念之一, 是高等数学的主要研究对象. 在现实世界中, 一切事物都在一定的空间运动着. 17世纪, 数学首先从对运动(如天文、航海等问题)的研究中引入了函数这个基本概念. 在那以后的200多年里, 这个概念几乎在所有的科学研究工作中占据了中心位置.

　　17世纪, 伽俐略在其《两门新科学》一书中, 几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念, 用文字和比例的语言表达函数的关系. 1637年前后, 笛卡尔在他所著的解析几何中, 已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系, 但当时尚未意识到要提炼函数概念, 因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义, 大部分函数是被当作曲线来研究的. 1673年, 莱布尼兹首次用“Function”(函数)表示“幂”, 后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量. 与此同时, 牛顿在微积分的讨论中, 使用“流量”来表示变量间的关系.

　　18世纪, 1718年, 约翰·伯努利在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念做了进一步的定义: “由任一变量和常数的任一形式所构成的量. ”他的意思是凡变量和常量构成的式子都叫做的函数, 并强调函数要用公式来表示. 1748年, 欧拉在《无穷分析引论》一书中把函数定义为: “一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式. ”他把约翰·伯努利给出的函数定义称为解析函数, 并进一步把它区分为代数函数和超越函数, 还考虑了“随意函数”. 不难看出, 欧拉给出的函数定义比约翰·伯努利的定义更普遍、更具有广泛意义. 1755年, 欧拉给出了另一个定义: “如果某些变量以某一种方式依赖于另一些变量, 即当后面这些变量变化时, 前面这些变量也随着变化, 我们把前面的变量称为后面变量的函数. ”

　　19世纪, 1821年, 柯西从定义变量起给出了函数的定义: “在某些变数间存在着一定的关系, 当一经给定其中某一变数的值, 其他变数的值可随着而确定时, 则将最初的变数叫自变量, 其他各变数叫做函数. ”在柯西的定义中, 首先出现了自变量一词, 同时指出对函数来说不一定要有解析表达式. 不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示, 这是一个很大的局限. 1822年傅里叶发现某些函数可以用曲线表示, 也可以用一个式子表示, 或用多个式子表示, 从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论, 把对函数的认识又推进了一个新层次. 1837年狄利克雷突破了这一局限, 认为怎样去建立 与之间的关系无关紧要, 他拓广了函数概念, 指出: “对于在某区间上的每一个确定的值, 都有一个确定的值, 那么, 叫做的函数. ”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述, 以清晰的方式被所有数学家接受. 这就是人们常说的经典函数定义, 这也是我们在高等数学或微积分课程中要学习的函数定义.