公元前年以前，人类祖先最先认识的数是自然数

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从那以后，伴随着人类文明的发展，数的范围不断扩展，这种扩展一方面与社会实践的需要有关，另一方面与数的运算需要相关。这里我们仅就数的运算需求做些解释。

　　例如，在自然数的范围内，两个自然数的差就不一定是自然数了。为使自然数对减法运算封闭，就引进了负数，这样，人类对数的认识就从自然数扩展到了整数。在整数范围内，加法运算、乘法运算与减法运算都是封闭的，但两个整数的商又不一定是整数了。探索使整数对于除法运算也是封闭的数的集合，就导致了整数集向有理数集的扩展。

　　任意一个有理数均可表示成

(其中，为整数，且)，

与整数相比较，有理数具有整数所不具有的良好性质。

　　例如，任意两个有理数之间都包含着无穷多个有理数，此即所谓的有理数集的稠密性；又如，任一有理数均可在数轴上找到唯一的对应点(称其为有理点)，而在数轴上有理点是从右到左按大小次序排列的，此即所谓的有理数集的有序性。

　　虽然有理点在数轴上是稠密的，但它并没有充满整个数轴。例如，对于边长为的正方形，假设其对角线长为(见下图)，则由勾股定理，有

  ，

虽然这个点确定地落在数轴上，但在数轴上却找不到一个有理点与它相对应，这说明在数轴上除了有理点还有许多空隙，同时也说明了有理数尽管很稠密，但是并不具有连续性。我们把这些空隙处的点称为无理点，把无理点对应的数称为无理数。无理数是无限不循环的小数，如，，等等。

【动画】

　　有理数与无理数的全体称为实数，这样就把有理数集扩展到了实数集。 实数集不仅对于四则运算是封闭的，而且对于开方运算也是封闭的。可以证明，实数点能铺满整个数轴而不会留下任何空隙，此即所谓的实数的连续性。 数学家完全弄清实数及其相关理论，已是世纪的事情了。

　　由于任给一个实数，在数轴上就有唯一的点与它相对应；反之，数轴上任意的一个点也对应着唯一的实数，可见实数集等价于整个数轴上的点集，因此，在本书今后的讨论中，对实数与数轴上的点就不加区分。 今后如无特别说明，本课程中提到的数均为实数，用到的集合主要是实数集。此外，为后面的叙述方便，我们重申中学学过的几个常用实数集的记号：自然数集记为，整数集记为，有理数集记为，实数集记为，这些数集间的关系如下：

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