公元前年以前, 人类祖先最先认识的数是自然数

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从此, 伴随着人类文明的发展, 数的范围不断扩展. 这种扩展一方面与社会实践的需要有关, 另一方面与数的运算需求相关. 这里我们仅就数的运算需求做些解释. 例如, 在自然数的范围内, 两个自然数的差就不一定是自然数了. 为使自然数对减法运算封闭, 就引进了负数, 这样, 人类对数的认识就从自然数扩展到了整数. 在整数范围内, 加法运算、乘法运算与减法运算都是封闭的, 但两个整数的商又不一定是整数了. 探索使整数对于除法运算也是封闭的数的集合, 就导致了整数集向有理数集的扩展.

　　任意一个有理数均可表示成(其中, 为整数, 且), 与整数相比较, 有理数具有整数所不具有的良好性质. 又如, 任意两个有理数之间都包含着无穷多个有理数, 此即所谓的有理数集的稠密性; 又如, 任一有理数均可在数轴上找到唯一的对应点(称其为有理点), 而在数轴上有理点是从左到右按大小次序排列的, 此即所谓的有理数集的有序性.

　　虽然有理点在数轴上是稠密的, 但它并没有充满整个数轴. 例如, 对于边长为的正方形, 假设其对角线长为(见下图), 则由勾股定理, 有

  ,

虽然这个点确实落在数轴上, 但在数轴上却找不到一个有理点与它相对应, 这说明在数轴上除了有理点还有许多空隙, 同时也说明了有理数尽管很稠密, 但是并不具有连续性. 我们把这些空隙处的点称为无理点, 把无理点对应的数称为无理数. 无理数是无限不循环的小数, 如, , 等等.

【动画】

　　有理数与无理数的全体称为实数, 这样就把有理数集扩展到了实数集.  实数集不仅对于四则运算是封闭的, 而且对于开方运算也是封闭的. 可以证明, 实数点能铺满整个数轴而不会留下任何空隙, 此即所谓的实数的连续性.  数学家弄清实数及其相关理论, 已是世纪的事情了.

　　由于任给一个实数, 在数轴上就有唯一的点与它相对应; 反之, 数轴上任意的一个点也对应着唯一的实数, 可见实数集等价于整个数轴上的点集, 因此, 在本书今后的讨论中, 对实数与数轴上的点就不再加以区分.  今后如无特别说明, 本课程中提到的数均为实数, 用到的集合主要是实数集. 此外, 为后面的叙述方便, 我们重申中学学过的几个常用实数集的记号: 自然数集记为, 整数集记为, 有理数集记为, 实数集记为, 这些数集间的关系如下:

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