下面再介绍在工程技术上常用到的一类函数及其反函数。

　　常用到的双曲函数主要有：

　　双曲正弦：，

　　双曲余弦：，

　　双曲正切：。

　　从定义可见，双曲函数是指由指数函数生成的初等函数，这三个双曲函数的简单性态如下：

　　双曲正弦：定义域为，值域为；是单调增加的奇函数，其图形通过原点且关于原点对称。当的绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近曲线；在第三象限内接近于曲线(见图1)。

图1 【动画】

　　双曲余弦：定义域为，值域为；是偶函数，在内单调减少，在内单调增加。当的绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近曲线；在第二象限内接近于曲线(见图1)。

　　双曲正切：定义域为，值域为；是单调增加的奇函数，其图形夹在水平直线及之间。当的绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近直线；在第三象限内接近于曲线(见图2)。

图2 【动画】

　　类似于三角恒等式与三角函数的和差积互化公式，利用双曲函数的定义，可以证明下例四个常用恒等式：

　；                   (1)

　；                   (2)

　；                   (3)

　；                   (4)

我们来证明第一个等式，其余三个读者可自己证明。由定义，得

此外，由以上几个恒等式可以异出其它一些恒等式，例如:

　　在式(4)中，令，并注意到，则有

　；                                       (5)

　　在式(1)中，令，则有

　                                          (6)

　　在式(3)中，令，则有

　                                     (7)

　　上述等式与三角函数的相关恒等式与互化公式类似，但也要注意它们之间存在的差异性。