从§1.3的例2可见，收敛的数列不一定是单调的。因此，极限存在准则所给出的单调有界的条件，仅是数列收敛的充分条件，而不是必要条件。下面叙述的柯西极限存在准则，给出了数列收敛的充分必要条件。

　　柯西极限存在准则

　　数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，存在正整数，使得当，时，恒有

。

　　证明　必要性　设，则对任意给定的正数，由数列极限的定义，存在正整数，当时，有

，

同样，当时，也有

，

因此，当，时，有

。

　　充分性　证明略。

　　注：柯西极限存在准则又称为柯西审敛原理，其几何意义是：对于任意给定的正数，在数轴上一切具有足够大的下标号码的点中，任意两点间的距离小于。