克莱姆法则是线性代数中求解线性方程组的经典方法. 它利用行列式的性质, 通过构造特定的行列式直接求解方程组的每个未知数. 具体而言, 通过替换系数矩阵中某列为常数向量, 计算其行列式的比值即可得到相应解.

　　克莱姆法则的重要意义在于该法则提供了从行列式角度理解线性方程组解法的直观途径, 揭示了解的唯一性与行列式非零条件之间的联系. 此外, 该法则证明了行列式在线性代数理论中的核心地位, 促进了线性代数的进一步发展.

　　克莱姆法则广泛用于小规模线性方程组的解析与计算, 尤其在理论分析中扮演着重要角色, 例如研究解的唯一性条件、灵敏度分析和参数依赖性等. 在经济学 (如线性投入产出模型)、物理学 (如力的平衡问题)和工程学 (如电路分析)中, 克莱姆法则为问题的解析解及其构造提供了重要工具.

　　引例　对三元线性方程组

，

在其系数行列式的条件下，它有唯一解：

，，，

其中

，，

，。

　　上述解可通过消元的方法直接求出。接下来我们要讨论更一般的线性方程组的解。