克莱姆法则

　　前面我们讨论过二元线性方程组的行列式解与三元线性方程组的行列式解。下面进一步讨论阶线性方程组的行列式解。

　　1、阶线性方程组的系数行列式

　　设有阶非齐次线性方程组：

  　　 (1)

即其对应的齐次线性方程组：

   　　(2)

以线性方程组的系数构成的行列式称为该方程组的系数行列式。

　　2、克莱姆法则

　　定理1　若线性方程组(1)的系数行列式，则线性方程组(1)有唯一解，其解为

，

其中，行列式是把中第列元素

，，…，

对应地换为方程组的常数项

，，…，

而其余各列保持不变所得到的行列式。

【证明】

　　注：克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组的解存在性与唯一性，但与其计算作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值。

　　3、克莱姆法则

　　在判断线性方程组解的情况时，根据四种命题及其关系，克莱姆法则还有以下几种常用表述。

　　定理2　如果线性方程组(1)无解或解不是唯一的，那么它的系数行列式必为零。

　　定理3　如果齐次线性方程组(2)的系数行列式，那么它只有零解。
　　定理4　如果齐次线性方程组(2)有非零解，那么它的系数行列式。

　　注：在线性方程组一章中还将进一步证明，如果齐次线性方程组的系数行列式，则齐次线性方程组(2)有非零解。