向量空间及其子空间

　　定义1　设为维向量的集合，若集合非空，且集合对于加法及数乘两种运算封闭，即
　　(1) 若，，则，
　　(2) 若，，则，
则称集合为上的向量空间。
　　记所有维向量的集合为，由维向量的线性运算规律，容易验证集合对于加法及数乘两种运算封闭。因而集合构成一向量空间，称为维向量空间。

　　例如，齐次线性方程组的全体解的集合为

是一向量空间，常称为为的解空间。

　　注1：当时，三维向量空间表示实体空间；当时，二维向量空间表示平面；当时，一维向量空间表示数轴；时，没有直观的几何形像。

　　注2：一般地，由向量组所生成的线性空间记为

。

　　定义2　设有向量空间和，若向量空间

，

则称是的子空间。