收敛数列的性质

　　定理1　收敛的数列必定有界。【证明】

　　推论1　无界数列必定发散。

　　定理2　收敛数列的极限是唯一的。【证明】

　　定理3(收敛数列的保号性)

　　若，且(或)，则存在正整数，使得当时，恒有(或)。【证明】

　　推论2　若数列从某项起有(或)，且

，

则(或)。【证明】

　　定理4(收敛数列与其子数列间的关系)

　　如果数列收敛于，那么它的任一子数列也收敛，且其极限也是。【证明】

　　注：定理4的逆否命题(若数列有两个子数列列收敛于不同的极限，则该数列必发散)常用于证明数列的发散性。

　　例如，数列有两个子数列：

与

分别收敛于极限与，故数列发散。