全集及其性质，补集及其运算性质

　　1、全集的概念

　　一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，我们就称这个集合为全集，通常记作。

　　2、全集的性质

　　全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念概念，它含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素，因此，全集因所研究问题的不同而不同。

　　例如，在研究数集时，我们常把实数集看作全集。在立体几何中，我们把三维空间看成是全集，此时平面就是全集的一个子集。而在平面几何中，我们把整个平面可以看成作一个全集，此时该平面上的所有直线、射线与线段就是该全集的子集。

　　3、补集的概念

　　如果集合是全集的一个子集，由中不属于的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集。记作，读作在中的补集，可用描述法表示为

且。

　　全集、集合及其补集的维恩图示意：

　　注：在不需特别指明相对的全集时，补集也可记为

且。

　　3、求子集在全集中的补集

　　从全集中去掉所有属于的元素，剩下的元素组成的集合即为在中的补集。具体求解时，应区分有限集与无限集分开讨论。

　　4、补集的运算性质

　　(1) ；；

　　(2) 集合与其补集的并集是全集，即

；

　　(3) 集合与其补集的交集是空集，即

；

　　(4) 集合的补集的补集是它本身，即

。