什么样的函数才有反函数呢？在高中阶段，我们曾介绍过：当一个函数是一一映射时，该函数与其反函数就互为反函数。下面我们进一步讨论函数具有反函数的充分条件。

　　一般地，即使函数是单值的，其反函数

也不一定是单值的。如图1可见，在该函数的值域上可取一点，作平行于轴的直线，这直线与曲线的交点有两个，它们的横坐标分别是和。

图1  【动画】

　　但如果函数在区间上不仅单值，而且单调，则其反函数在

上是单值的。事实上，若是上的单调函数，则任取上的两个不同的数值，()，必有

。

　　所以在上任取一个数值时，上不可能有两个不同的数值及，使得

 及

同时成立。故函数在区间上单值且单调是其反函数存在的一个充分条件。

　　例如，二次函数的定义域为，值域为。易见的反函数不是单值函数。但函数在区间上是单调增加的(见图2)，所以，当把限制在时，该函数的反函数就是单值函数(见下图)，即

。

同理，函数在区间上的反函数也是单值的，即

。

图2  【动画】