1、数列极限的严格定义

　　定义　设有数列与常数，若对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在正整数，使得对于时的一切，不等式

都成立，则称是数列的极限，或称数列收敛于，记为

 或 

　　如果一个数列没有极限，就称该数列是发散的。

　　注1：定义中“对任意给定的正数”实际上表达了无限趋近于的意思。此外，定义中的正整数与任意给定的正数有关。

　　注2：按定义知，数列的极限与该数列的前有限项的取值无关。

　　2、数列极限的几何解释

　　的几何解释：将常数及数列表示在数轴上，并在数轴上作领域(图1)。

图1  【动画】

注意到不等式等价于

，

所以数列的极限为在几何上即表示：当时，所有的点都落在开区间内。而落在这个区间之外的点至多只有个。

　　注3：数列极限的定义并未给出求极限的方法，只给出了论证数列的极限为的方法，常称为论证法，其论证步骤为：

　　(1) 对于任意给定的正数；

　　(2) 由不等式开始分析倒推，推出，其目的是具体找到一个满足定义的，这样，在分析倒推过程中，我们就可以利用常用不等式及其性质，通过缩放不等式来化简推出。

　　(3) 此时只需取，就可保证当时，恒有

。

最后，再语言顺述结论，完成证明。