双曲线(焦点，虚实半轴长，渐近线)及其标准方程

　　1、双曲线的定义

　　平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹称为双曲线。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点间的距离称为双曲线的焦距。双曲线上任意一点与双曲线焦点的连线段称为双曲线的焦半径。

　　设定长为，则由三角形三边关系定理，有

。

图1　　　　　　　　　　　图2

　　2、双曲线的标准方程

　　(1) 焦点在轴上(图1)，设其坐标分别为

，

即焦距为，称为半焦距，则双曲线的标准方程为

，[推导]

其中分别称为双曲线的实半轴长与虚半轴长，且

，[推导]

　　变量的取值范围：

，。

点称为双曲线的两个顶点，线段称为双曲线的实轴。设，则线段称为双曲线的虚半轴。

　　双曲线的渐近线：标准方程中的参数和确定了双曲线的形状和开口的大小(图1)，同时确定了其渐近线：

 或(图1)。[推导]

　　(2) 焦点在轴上(图2)，设其坐标分别为

，

则双曲线的标准方程为

，[推导]

其中分别称为双曲线的实半轴长与虚半轴长，且

。

　　变量的取值范围：

，。

点称为双曲线的两个顶点，线段称为双曲线的实轴。设，则线段称为双曲线的虚半轴。

　　双曲线的渐近线：

 或(图2)。[推导]