直线与双曲线的位置关系，弦长、中点弦与切线方程

　　1、直线与双曲线的位置关系 

　　设直线与双曲线的方程分别为

，，

联立上述两个方程，消去变量，得

。

　　(1) 当，即时，上述方程为一次方程，此时如果，则该方程有一实根，直线与双曲线有一交点，此时直线平行于双曲线的渐近线；如果，则上述方程无根，直线与双曲线无交点，该直线就是双曲线的渐近线。

　　(2) 当时，由一元二次方程的求根公式知，直线与双曲线的位置关系：

　　当时，直线与双曲线相交，有两个相异交点；

　　当时，直线与双曲线相切，有一个交点；

　　当时，直线与双曲线相离，没有交点。

　　根据上述分析知：当直线与双曲线有一个交点时，直线可能与双曲线相切，也可能与双曲线的渐近线平行。

　　2、直线被双曲线所截的弦长

　　类似1，将直线方程与双曲线方程联立，得到关于(或)的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，再求弦长。

　　设直线与双曲线相交于，两点，则所求弦长公式与椭圆的弦长公式相同：

或

　　3、 中点弦问题

　　与椭圆的切线方程的推导类似，设是双曲线的弦的中点，则过中点的弦的斜率为

。[推导]

　　4、双曲线的切线方程

　　与椭圆的切线方程的推导类似，过双曲线

上一点处的切线方程为

。[推导]

　　注：以双曲线的焦半径为直径的圆与以实半轴为直径的圆外切或内切。