杨辉三角形(二项式系数性质、展开式最大项(系数))

　　1、杨辉三角形

　　观察的展开式：

　　(1)

当依次取时，该展开式的二项式系数呈如下表所示三角形状，这个表称为杨辉三角形，它最早出现于我国南宋数学家杨辉在1261年所著《详解九章算法》一书中。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡(1623~1662)发现的，称为帕斯卡三角。

　　从上表可见，二项式系数具有如下特点：
　　(1) 对称性：每一行中，与首尾两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；

　　(2) 每一行两端都是1，而且从第三行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和；
　　(3) 从第三行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大。
　　2、二项式系数的性质

　　(1) ；

　　(2) ；

　　(3) 当为偶数时，二项式系数中以最大，当为奇数时，二项式系数中以和最大且二者相等。因为

 ，

所以，相对于的增减情况由决定。由

。

可知当时，二项式系数是单调增加的，由对称性知其后半部分是单调减小的，且在中间取得最大值。

　　(4) 在二项展开式(1)中，令，得

。

　　(5) 在二项展开式(1)中，令，可得

。

　　(6) 由展开后比较两边的系数，得

。

　　3、二项式系数性质的应用

　　(1) 求展开式系数的和：一般地，多项式

的各项系数和为，即

，

其奇次项系数和与偶次项系数和分别为

，。

　　(2) 展开式系数最大的问题

　　求展开式系数最大的问题，首先要区分“展开式系数最大”“二项式系数最大”及“最大项”等；其次要注意其展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正的前提下，求它们的最大值只需比较相邻两个的大小，根据通项公式正确地列出不等式(组)即可。

　　例如，设第项的系数最大，则

。