点与线段的射影，(直角)三角形的射影定理及其逆

　　初中阶段，我们学习过投影、平行投影、中心投影、正投影与斜投影等概念。下面引入的射影的概念实质上就是一种(正)投影。

　　1、射影的概念

　　一般地，从一点向一条直线作垂线，垂足称作这个点在这条直线上的正射影。
　　一般地，一个点集(如线段或其他几何图形)中所有的点在某条直线上的射影集合，称这个点集在这条直线上的射影。

　　例如，一条线段在一条直线上的射影，就是线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段(如图1)。

图1

　　在初中阶段，我们学习过正弦、余弦与正切的定义、直角三角形的性质以及解直角三角形的理论依据等。下面进一步给出直角三角形的射影定理及其逆定理。

　　2、直角三角形的射影定理和逆定理

　　定理　在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。如图2所示，有

，，。

图2

　　逆定理　如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形。

　　3、任意三角形的射影定理

　　在初中阶段，我们学习过勾股定理，这里将进一步给出任意三角形的射影定理。

　　定理　平面三角形中，设一个三角形的三边分别为，，，它们所对的三个内角分别为，，，则

，

，

。