解法一 利用单调有界准则求题设递归数列的极限。为此，先证题设数列具有单调性。依题设，有
。
假设，则有
即
，
故由数学归纳法知，有
即数列是单调增加的。又由
可见题设数列有界。
所以，根据单调有界准则，极限必定存在。
设。在等式两边取极限，得
根据一元二次方程的求根公式，有
因为，故由数列极限的保号性，舍去负值，得
解法二 假设题设数列的极限存在，再利用数列极限的运算，通过对进行不等式缩放等来证明即为该数列的极限。
设 ，依题设，有
故由数列极限的保号性知，。在
两边取极限，得
(舍去负值)。
下面再利用数列极限的定义证明存在。
作不等式缩放，得
对上式取极限，可得
所以
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