一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的。对具体的数值线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解。目前用计算机解线性方程组已经有了一套成熟的方法。

　　设有线性方程组及其对应的齐次线性方程组为

  　　 (1)

   　　(2)

线性方程组的系数构成的行列式称为该方程组的系数行列式。

　　克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组的存在性与唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值。在判断线性方程组解的情况时，根据四种命题及其关系，克莱姆法则有以下几种常用表述。

　　定理1　如果线性方程组(1)的系数行列式，则线性方程组(1)一定有解，且解是唯一的。

　　在解题或证明中，常用到定理1的逆否定理：

　　定理2　如果线性方程组(1)无解或解不是唯一的，则它的系数行列式必为零。

　　对齐次线性方程组(2)，易见一定是该方程的解，称其为齐次线性方程组(2)的零解。把定理1应用于齐次线性方程组(2)，可得到如下结论。
　　定理3　如果齐次线性方程组(2)的系数行列式，则齐次线性方程组(2)只有零解。
　　定理4　如果齐次线性方程组(2)有非零解，则它的系数行列式。

　　注：在后面章节中还将进一步证明，如果齐次线性方程组的系数行列式，则齐次线性方程组(2)有非零解。