双曲线的焦点三角形及其常用关系与面积公式
1、双曲线的焦点三角形
设点为双曲线
上异于实轴顶点的一点，为两焦点(如图)，则称为上述双曲线的焦点三角形，分别为三角形的三边长。
2、焦点三角形的常用关系式
(1) 由双曲线的定义，有
。
(2) 由三角形的常用面积公式1(2)，有
。
(3) 由三角形的余弦定理，有
。
(4) 由完全平方公式，有
。
(5) 由三角函数的正弦定理，有
。
3、焦点三角形的面积公式
设，将式(4)代入式(3)，有
，
由焦点坐标定义知：，将式(1)代入上式，并利用双曲线的几何性质3，得
，
于是，利用式(2)、倍角公式与半角公式，得
故所求焦点三角形的面积公式为