1、曲线的凹凸性与拐点

　　定义1　设函数在区间内连续，如果对上任意两点，恒有

，

则称在上的图形是(向上)凹的(或凹弧)；如果恒有

，

则称在上的图形是(向上)凸的(或凸弧)。

　　注1：凹凸性定义的几何直观：【动画】

　　定义2　连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点。

　　2、曲线凹凸性的判别法

　　定理　设函数在闭区间上连续，在开区间内具有一阶和二阶导数，则

　　(1) 若在开区间内，有，则曲线在闭区间上的图形是凹的；

　　(2) 若在开区间内，有，则曲线在闭区间上的图形是凸的。

【证明】

　　注2：光滑曲线的凹凸性的几何意义：【动画】

　　对于凹曲线，当逐渐增大时，其上每一点的切线的斜率是逐渐增大的，即导函数是单调增加函数；而对于凸曲线，其每一点的切线的斜率是逐渐减少的，即导函数是单调减少函数。

　　3、判定曲线凹凸性与求拐点的步骤

　　(1) 求函数的二阶导数；

　　(2) 令，解出全部实根，求出使二阶导数不存在的点；
　　(3) 对步骤(2)中求出的每一个点，检查其邻近左、右两侧二阶导数的符号，确定曲线的凹凸区间和拐点。