在高中阶段, 我们学习过映射的概念、函数的概念、函数的三种表示方法、函数的定义域、函数相等与自变量表示的无关性等. 在高等数学或微积分课程中所涉及到的函数概念基本与高中所学一致.

　　在高等数学的殿堂中, 函数作为一种基本且重要的数学概念, 是后续解析与应用的基石. 在日常生活和自然科学中, 各类数量关系、变化趋势与现象规律都可通过函数精确地描述与分析. 从简单的线性函数到复杂的非线性方程, 函数的工具性与普适性在数学发展中愈显突出. 下面我们将从函数的定义、记号、表示方式以及构成要素切入, 帮助读者清晰地理解何谓函数, 并奠定深入探究极限、连续、导数与积分等概念的基础. 通过对函数的本质与属性的认识, 读者将为今后数学问题的解决和科学研究积累坚实的理论储备.

　　函数是描述变量间相互依赖关系的一种数学模型.

　　在某一自然现象或社会现象中, 往往同时存在多个不断变化着的量, 即变量, 这些变量并不是孤立变化的, 而是相互联系并遵循一定的规律. 函数就是描述这种联系的一个法则. 本节我们先讨论两个变量的情形(多于两个变量的情形将在下册中讨论).

　　例如, 在自由落体运动中, 设物体下落的时间为, 落下的距离为. 假定开始下落的时刻为, 则变量与之间的相依关系由数学模型

给定, 其中是重力加速度.

　　定义　设和是两个变量, 是一个给定的非空数集. 如果对于每个数, 按照一定法则, 总有确定的数值与变量对应, 则称是的函数, 记作

.

其中, 称为自变量, 称为因变量, 数集称为函数的定义域, 也记为, 即

.  

　　对, 按照对应法则, 总有确定的值(记为)与之对应, 称为函数在点处的函数值.因变量与自变量的这种相依关系通常称为函数关系.

　　当自变量遍取的所有数值时, 对应的函数值的全体构成的集合称为函数的值域, 记为或, 即 

.  

　　注1: 函数的定义域与对应法则称为函数的两个要素. 两函数相等的充要条件是其定义域与对应法则相同, 而函数的自变量用什么字母表示无关, 此即函数自变量表示的无关性.

　　关于函数的定义域, 在实际问题中应根据问题的实际意义来具体确定. 如果讨论的是纯数学问题, 则往往取使函数的表达式有意义的一切实数所构成的集合作为该函数的定义域, 这种定义域又称为函数的自然定义域.

　　注2: 常用基本初等函数的定义域.

　　例如, 函数的(自然)定义域即为开区间.