向量组线性相关的充要条件

　　定理1　向量组线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示。

【证明】

　　定理2　设有列向量组

，

则向量组线性相关的充要条件是：矩阵

的秩小于向量的个数。

　　推论1　个维列向量组线性无关(线性相关)的充要条件是：矩阵

的秩等于(小于)向量的个数。
　　推论2　个维列向量组线性无关(线性相关)的充要条件是：矩阵

的行列式不等于(等于)零。

　　注：上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立。
　　推论3　当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时，此向量组线性相关。

　　注：定理2及其推论告诉我们，向量组线性相关的判定实际上可以转化为对该向量组所构成矩阵的秩的判定。