线性变换的概念

　　在高中阶段，我们学习过线性变换的概念，并具体讨论了旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换、复合变换、线性变换的性质和定理等。下面进一步学习一般线性变换的概念。

　　定义　变量与变量之间的关系式

称为从变量到变量的线性变换，其中为常数，上述线性变换的系数构成的矩阵

称为该线性变换的系数矩阵。设

，，，

则上述变换关系式可表示为下列矩阵形式：

，

此时，又称为线性变换矩阵。当可逆时，该线性变换被称为可逆线性变换。

　　易见线性变换与其系数矩阵之间存在一一对应的关系，因而可利用矩阵来研究线性变换，亦可利用线性变换来研究矩阵。

　　当一线性变换的系数矩阵为单位矩阵时，线性变换

称为恒等变换。
　　从矩阵运算的角度来看，线性变换式实际上建立了一种从矩阵到矩阵的矩阵变换关系：

。