收敛数列的保号性定理及其推论

　　定理3 若，且 (或)，则存在正整数，使得当时，恒有

(或)。

　　证明    先证的情形。根据数列极限的定义，对于，存在正整数，当时，有

  ，

利用基本绝对值不等式，即得

  ，

所以

。

　　同理可证的情形。证毕。

　　推论2    若数列从某项起有(或)，且

，

则

(或)。

　　证明    证数列从第项起有的情形。

　　利用反证法：如果，则由上述定理，存在正整数，当时，有。取

，

当时，有，但按假定有，矛盾。故必有

。

　　同理可证数列从某项起有的情形。证毕。